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一件优雅的武器:数学(合集)

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为何数学是美丽的呢?这就像是在问贝多芬第九号交响曲为什么会如此美丽一般。若你不知道为什么,其他人也没办法告诉你为什么。我知道数是美丽的。且若它们不是美丽的话,世上也没有事物会是美丽的了。

——保罗·埃尔德什

撰文:Brian Koberlein

翻译:幽默丁格

审校:小雨

数学是一门科学的语言。从算术到群论,数学建立了科学模型的基础。我们或许会受到一个灵感或一种类比方法的启发,但是精确的科学语言是需要以数学结构为基础的。或许我们所了解到的关于宇宙最基本的一些东西都和数学有着某种深刻的联系。

这种联系或许可以上升为这样的一个问题:为什么数学如此有效?或许是因为我们只挑选那些有用的数学模型,而排除那些无法应用到科学的,使应用数学可以自我选择。又或许是因为作为在这个物理世界中进化的灵长类动物,我们认为是“纯粹”的数学其实只是反映了我们的宇宙是如何运作的。无论何种原因,数学似乎看起来具有不合理的有效性,正如诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳(Eugene Wigner)在《数学在自然科学中不合理的有效性》一文中所论证的【1】。数学工具是如此的强大有力,以至于有些人(比如宇宙学家 Max Tegmark)提出宇宙的结构其实只是数学自身的结构【2】。科学家已经在这一想法上花费了大量的笔墨。

但是强有力的数学模型同样也在无形之中“建造”了一道分离的墙,分离了那些经过了专业的数学训练和没有经过训练的人对这些模型的理解。特别是在科学普及中,我们不会看到任何方程式(只有一些例外),科普通常把注意力集中在用类比的方法来描述这些模型,而不是背后的数学。这使很多人错误的认为一个已经建立的科学可以简单被一个新的想法推翻,而数学只不过是其中的一个小细节。而现实是,一个灵感能够被激发出来,但只有配备特别的数学才能进一步迸发出知识的火花。因此,多数美丽而优雅的科学模型都要仰仗数学的力量。数学作为科学的一种语言,是十分深刻和巧妙的,但是它的本质却不被时常谈论。

从下面的这五篇文章中,我会带领你们去发现隐藏在一些科学理论背后的数学之美:

  1. 几何  

从亚里士多德的线和圆的概念,到开普勒的椭圆,几何在天文学中扮演着核心的角色。当我们跟随着几何的脚步深入到更抽象的概念中去,它将会打开一道时间起源之门。

▶ 详见:《一个简单的行星运动轨迹,是如何引导我们去探索空间和时间的》

  2. 矢量和场  

力既有大小又有方向。在数学上我们称之为矢量。从如此简单的数学概念中,引申出第一个统一场论。

▶ 详见:《一个强大的箭头》

  3. 复数  

人们一直认为,任何数乘以自身都是一个正数。但是如果一个数乘以自身是一个负数会怎样呢?这个奇怪的想法也就是现在熟知的虚数。结果证明虚数其实是通往极为真实的物理世界的大门。

▶ 详见:《一个纯想象的世界》

  4. 群论  

我们通常认为数学就是由数字构成,或者至少是由方程式构成。但它也可能是以一种关系和关联的方式存在。通常情况下,一个模型不同部分的联系是理解该模型更深层次含义的关键。

▶ 详见:《一个永存的联系》

  5. 形式  

数学只是一套简单的联系规则吗?或者还有更多?数学会限制我们对物理宇宙的理解程度吗?

▶ 详见:《神的九十亿个名字》

参考文献:

【1】Wigner, E. P. The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Communications on Pure and Applied Mathematics. 13: 1–14 (1960). https://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html

【2】Max Tegmark. Is “the theory of everything” merely the ultimate ensemble theory? arXiv:gr-qc/9704009 (1998).

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